2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 1회 - [문제 1]
2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형]
[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)
평면좌표와 점과 직선 사이의 거리, 삼각형의 닮음 및 삼각함수의 덧셈정리를 적용한 무한등비급수, 공간도형과 삼각기둥에서 정사영과 이면각의 성질을 종합하여 논증하시오.
평면좌표와 점과 직선 사이의 거리, 삼각형의 닮음 및 삼각함수의 덧셈정리를 적용한 무한등비급수, 공간도형과 삼각기둥에서 정사영과 이면각의 성질을 종합하여 논증하시오.
1-1 좌표평면 위에 있는 \(5\)개의 점 \(P_1(-6, -3), P_2(-6, 3), P_3(-3, 6), P_4(6, 3), P_5(6, -3)\) 중에서 서로 다른 \(3\)개를 선택하여 그 점들을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 그 삼각형의 무게중심과 직선 \(y = -2x + 30\) 사이의 거리가 \(6\sqrt{5}\) 이하가 되는 경우의 수를 구하시오. (10점)
1-2
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\)인 정사각형 \(A_1B_1C_1D_1\)에 대하여 선분 \(B_1C_1\)의 중점을 \(F_1\), 선분 \(C_1D_1\)의 중점을 \(G_1\)이라 하자. 정사각형 \(A_1B_1C_1D_1\)에 내접하는 원 위의 점 \(E_1\)에 대하여 \(\theta = \angle E_1G_1F_1\)이라 할 때, \(\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}\)를 만족시킨다.
세 점 \(B_2, C_2, D_2\)는 각각 선분 \(E_1F_1, F_1G_1, E_1G_1\) 위의 점이며, 두 직선 \(B_1C_1\)과 \(B_2C_2\)가 서로 평행하고 두 직선 \(C_1D_1\)과 \(C_2D_2\)가 서로 평행하며, 사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)는 정사각형이다. 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)에도 같은 방법을 적용하여, 선분 \(B_2C_2\)의 중점을 \(F_2\), 선분 \(C_2D_2\)의 중점을 \(G_2\)라 하자. 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)에 내접하는 원 위의 점 \(E_2\)는 \(\angle E_1G_1F_1 = \angle E_2G_2F_2\)를 만족시킨다. 이와 같은 과정을 반복하여 정사각형 \(A_nB_nC_nD_n\)과 세 점 \(E_n, F_n, G_n\) (\(n \ge 3\))을 얻을 수 있다.
모든 자연수 \(n\)에 대하여 정사각형 \(A_nB_nC_nD_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자. \(\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}\)일 때 급수 \(\sum_{n=1}^\infty S_n\)의 합을 구하시오. (20점)
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\)인 정사각형 \(A_1B_1C_1D_1\)에 대하여 선분 \(B_1C_1\)의 중점을 \(F_1\), 선분 \(C_1D_1\)의 중점을 \(G_1\)이라 하자. 정사각형 \(A_1B_1C_1D_1\)에 내접하는 원 위의 점 \(E_1\)에 대하여 \(\theta = \angle E_1G_1F_1\)이라 할 때, \(\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}\)를 만족시킨다.세 점 \(B_2, C_2, D_2\)는 각각 선분 \(E_1F_1, F_1G_1, E_1G_1\) 위의 점이며, 두 직선 \(B_1C_1\)과 \(B_2C_2\)가 서로 평행하고 두 직선 \(C_1D_1\)과 \(C_2D_2\)가 서로 평행하며, 사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)는 정사각형이다. 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)에도 같은 방법을 적용하여, 선분 \(B_2C_2\)의 중점을 \(F_2\), 선분 \(C_2D_2\)의 중점을 \(G_2\)라 하자. 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)에 내접하는 원 위의 점 \(E_2\)는 \(\angle E_1G_1F_1 = \angle E_2G_2F_2\)를 만족시킨다. 이와 같은 과정을 반복하여 정사각형 \(A_nB_nC_nD_n\)과 세 점 \(E_n, F_n, G_n\) (\(n \ge 3\))을 얻을 수 있다.
모든 자연수 \(n\)에 대하여 정사각형 \(A_nB_nC_nD_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자. \(\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}\)일 때 급수 \(\sum_{n=1}^\infty S_n\)의 합을 구하시오. (20점)
1-3
\(\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{DE} = \overline{EF} = 3\), \(\angle ABC = \angle DEF = \frac{\pi}{2}\), \(\overline{AD} = 6\)인 삼각기둥 \(ABC-DEF\)가 있다. 점 \(P\)는 선분 \(AC\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이고, 점 \(M\)은 선분 \(DF\)의 중점이다. 선분 \(DE\) 위의 점 \(Q\)는 \(\overline{EQ} = t\) (\(0 < t < 3\)), 선분 \(EF\) 위의 점 \(R\)은 \(\overline{ER} = 3-t\)를 만족시킨다.
직선 \(BM\)이 평면 \(PQR\)과 만나는 점을 \(S\)라 할 때, \(\overline{BS}:\overline{SM} = 2:1\)이다. 점 \(N\)은 직선 \(PS\)와 직선 \(QR\)의 교점이다. 직선 \(MN\)과 직선 \(QR\)이 서로 수직일 때, 평면 \(PQR\)이 평면 \(DEF\)와 이루는 예각의 크기 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)의 값을 구하시오. (20점)
\(\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{DE} = \overline{EF} = 3\), \(\angle ABC = \angle DEF = \frac{\pi}{2}\), \(\overline{AD} = 6\)인 삼각기둥 \(ABC-DEF\)가 있다. 점 \(P\)는 선분 \(AC\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이고, 점 \(M\)은 선분 \(DF\)의 중점이다. 선분 \(DE\) 위의 점 \(Q\)는 \(\overline{EQ} = t\) (\(0 < t < 3\)), 선분 \(EF\) 위의 점 \(R\)은 \(\overline{ER} = 3-t\)를 만족시킨다.직선 \(BM\)이 평면 \(PQR\)과 만나는 점을 \(S\)라 할 때, \(\overline{BS}:\overline{SM} = 2:1\)이다. 점 \(N\)은 직선 \(PS\)와 직선 \(QR\)의 교점이다. 직선 \(MN\)과 직선 \(QR\)이 서로 수직일 때, 평면 \(PQR\)이 평면 \(DEF\)와 이루는 예각의 크기 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)의 값을 구하시오. (20점)